Tableau de signes d'une fonction
Le tableau de signes est un outil important en mathématiques pour déterminer les variations d'une fonction et les intervalles où elle est positive ou négative. Dans cet article, nous allons découvrir comment dresser un tableau de signes pour une fonction donnée.
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels donnés. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Pour dresser un tableau de signes pour une fonction affine, il suffit de déterminer le signe de la fonction pour des valeurs suffisamment éloignées de zéro, par exemple $x = -\infty, x = 0$ et $x = +\infty$. Ensuite, on peut dresser le tableau de signes en fonction des variations de la fonction.
Exemple
Soit $f(x) = 2x - 3$. On a :
- $f(-\infty) = -\infty$, donc $f(x) < 0$ pour $x < 0$
- $f(0) = -3$, donc $f(x) < 0$ pour $x = 0$
- $f(+\infty) = +\infty$, donc $f(x) > 0$ pour $x > 0$
On peut donc dresser le tableau de signes suivant :
$-\infty$ | 0 | $+\infty$ | |
---|---|---|---|
f(x) | - | - | + |
Fonction polynôme
Une fonction polynôme est une fonction de la forme $f(x) = anx^n + a{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$, où $a_i$ sont des nombres réels donnés et $n$ est un entier positif. Pour dresser un tableau de signes pour une fonction polynôme, on utilise le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Descartes pour déterminer le nombre de racines positives, négatives et nulles de la fonction. Ensuite, on peut dresser le tableau de signes en fonction des variations de la fonction.
Exemple
Soit $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$. Le nombre de racines positives de $f(x)$ est égal au nombre de changements de signe dans la suite des coefficients non nuls de $f(x)$, soit 2. Le nombre de racines négatives de $f(x)$ est égal au nombre de changements de signe dans la suite des coefficients non nuls de $f(-x)$, soit 0. Le nombre de racines nulles de $f(x)$ est égal au nombre de changements de signe dans la suite des coefficients non nuls de $f(0)$, soit 1. On peut donc dresser le tableau de signes suivant :
$-\infty$ | 0 | $+\infty$ | |
---|---|---|---|
f(x) | - | 0 | + |
Tableau de signes d'une inéquation
Un tableau de signes peut également être utilisé pour résoudre des inéquations du type $f(x) \leq 0$ ou $f(x) \geq 0$. Pour cela, on dresse le tableau de signes de la fonction $f(x)$ comme expliqué précédemment, puis on détermine les intervalles où $f(x) < 0$ ou $f(x) > 0$ en fonction des variations de la fonction. Les solutions de l'inéquation sont alors les intervalles où la fonction est négative ou positive.
Exemple
Soit $f(x) = -2x^2 + 5x - 3$. Le tableau de signes de $f(x)$ est le suivant :
$-\infty$ | $\frac{3}{2}$ | 3 | $+\infty$ | |
---|---|---|---|---|
f(x) | - | + | - | - |
Les solutions de l'inéquation $f(x) \leq 0$ sont donc les intervalles $-\infty < x \leq \frac{3}{2}$ et $3 \leq x < +\infty$.
Conclusion
Le tableau de signes est un outil indispensable pour déterminer les variations d'une fonction et résoudre des inéquations. En utilisant les méthodes expliquées dans cet article, on peut dresser facilement un tableau de signes pour une fonction affine ou une fonction polynôme, et résoudre des inéquations en utilisant ces tableaux de signes.
Sources :
- Dresser un tableau de signes (en Seconde) - Maths-cours.fr
- Dresser un tableau de signes - Seconde - YouTube
- Dresser un tableau de signes (fonction affine) - Seconde - YouTube
- Tableau de signes - Wikipédia
- Inéquations et tableaux de signes - Cours et exercices de maths
- Tableaux de signes
- Tableau de signe d'une fonction affine - seconde - JaiCompris.com
- Fiche explicative de la leçon : Signe d'une fonction - Nagwa
Une fonction est une relation entre des éléments appelés domaines et des images appelés valeurs. Les domaines sont souvent des nombres, mais ce ne sont pas toujours le cas. Un tableau de signes, communément appelé tableau de transition, est une manière de représenter graphiquement une fonction. Les tableaux de signes se composent de deux colonnes de valeurs, toutes deux désignées par des lettres ou des symboles. La première colonne représente le domaine, et la seconde représente la valeur. Chaque ligne du tableau représente une sous-fonction individuelle, qui fait partie intégrante de la fonction globale.
Un tableau de signes est un outil très utile qui permet aux étudiants de comprendre et d'analyser intuitivement une fonction. On peut également y trouver des informations supplémentaires sur le comportement de la fonction, telles que sa dérivée et ses asymptotes. Les tableaux de signes sont particulièrement utiles pour les fonctions non-linéaires telles que le trigonométrique et les fonctions exponentielles.
Le tableau de signes est un outil qui m'a beaucoup aidé quand j'étudiais les mathématiques. Il m'a permis de comprendre les fonctions plus facilement et de trouver des informations supplémentaires en quelques secondes. Je me souviens d'une fois où cela m'a aidé à trouver la dérivée d'une fonction que je ne pouvais pas résoudre sans l'utiliser.